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Exercice 7
Les dimensions de la boite sont : 33 ; 39 ; 42
Remarque : les problèmes VI et VII reposent tous deux sur la décomposition de 2002 (11x13x14)

Géométrie

PROBLÈME 1
Ce problème est la suite de celui qui était proposé dans la première étape et dont la solution a
été donnée sur le site du rallye ; la pièce à diamètre constant était alors faite à partir d'un
polygone régulier à trois côtés, celle-ci avec un polygone régulier à cinq côtés.
1) Pour construire le centre du cercle circonscrit à MRP, il suffit de trouver l'intersection des
médiatrices de deux côtés.
On remarque que les triangles POM, POR et MOR sont isocèles et que (OP) est bissectrice de
l'angle MPR. On déduit que l'angle MÔR mesure 72° soit 360 / 5 ; le segment MR est donc un
côté du pentagone régulier inscrit sur le cercle. Il suffit alors de le reporter quatre fois

2) Sur le schéma donné dans l'énoncé, on reconnaît la construction précédente : sur le cercle,
les cinq sommets du pentagone régulier .
On termine la construction en traçant deux cercles centrés en M et de rayon r et R ; puis deux
cercles centrés en N et de rayon r et R ; de même en P, Q et R.
On remarque alors que tous les "diamètres" passant par un de ces points sont égaux : VW =
AF = BG = HC = ID = JE = r + R = d

Si on veut que d = 11 cm, sachant que MP = 7 cm, il faut que AM = PF = 2 cm
(2 + 7 + 2 = 11).
On trace donc deux cercles de centre P de rayon 2 et 9 cm. On ne conserve de ces cercles
que les arcs limités par des angles de 36° ; c'est-à-dire des dixièmes de cercles
De même en M, N, Q, et R
3) Le périmètre de la pièce est la somme de cinq dixièmes de cercles de rayon 2 cm ; soit un
demi-cercle. Plus cinq dixièmes de cercles de rayon 9cm soit un demi-cercle.
P = 2 pi + 9 pi
P = 11 pi (cm) valeur exacte
P = 34,6 cm valeur arrondie à 1 mm près

PROBLÈME 2
Remarquons d'abord (et on peut le démontrer) que tous les quadrilatères de rang impair sont
des rectangles et ceux de rang pair sont des losanges.
Deuxième remarque : le théorème "de la droite des milieux" appliqué au triangle OAB
démontre que EF est la moitié de AB ; deux rectangles successifs ont donc des périmètres
dans le rapport 1/2 . De même pour deux losanges successifs.
On démontre aussi que ABCD est "pavé" par 16 triangles de même aire que AIE et le losange
IJKL est pavé par 8 triangles comme AEI. Le rapport de leurs aires est donc 1/2.

L’aire du quadrilatère de rang i+1 est la moitié de l’aire du quadrilatère de rang i

1) Le 12ème quadrilatère est un losange (rang pair).
Pour le dessiner, il suffit de construire le 11^ème quadrilatère, c'est-à-dire le 6^ème rectangle.
Pour connaître ses dimensions il faut diviser celles de ABCD par 25 (= 32). Sa longueur est
donc 6 cm et sa largeur 3 cm.
Ayant ce rectangle, on obtient le losange souhaité en joignant les milieux des côtés

2) L'aire du 11^ème quadrilatère est 18 cm². Si on divise cette aire par 24 c'est-à-dire par 16, on
obtient l’aire du 15^ème quadrilatère qui est 1,125 cm² (plus de 1 cm²) ; il faut diviser encore
par 2, pour que l'aire devienne inférieure à 1 cm².
C'est donc à partir du 16^ème quadrilatère que l'aire est inférieure à 1cm².

3) Le périmètre du 11^èmequadrilatère est 18 cm et c’est un rectangle ; si on divise par 32
c'est-à-dire par 24, on obtient le périmètre 19^ème quadrilatère (un rectangle) ; ce périmètre est
1,125 cm ; il est encore trop grand. Le rectangle suivant aura un périmètre inférieur à 1 cm
mais il faut examiner le losange intermédiaire.
Connaissant la longueur (0,375 cm) et la largeur (0,1875 cm) du rectangle de rang 19 on peut
, à l'aide du théorème de Pythagore, calculer le côté du losange suivant et, en le multipliant
par 4, connaître son périmètre ; on trouve environ 0,84 cm . Ce qui est inférieur à 1 cm ; ce
losange est le premier à avoir un périmètre inférieur à 1 cm
C'est donc à partir 20ème quadrilatère que le périmètre devient inférieur à 1 cm

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